|
Матрица статей Список статей Всячина Контакты | ||||||||||||
|
Треугольник Серпинского Построение треугольника Серпинского с помощью рекурсии В 1915 году польский математик Вацлав Серпинский придумал занимательный объект, известный как решето Серпинского.
Этот треугольник один из самых ранних известных примеров фракталов. Существует несколько способов построения этого
фрактала. Один из них представляет следующий процесс. Берётся сплошной равносторонний треугольник, на первом шаге из
центра удаляется перевёрнутый треугольник. На втором шаге удаляется три перевёрнутых треугольника из трёх оставшихся
треугольников. Продолжая этот процесс, на 
program FracSierp2;
uses CRT, Graph;
var
gd, gm : Integer;
const
iter = 5;
procedure tr(x1, y1, x2, y2, x3, y3: Real);
begin
Line(Round(x1), Round(y1), Round(x2), Round(y2));
Line(Round(x2), Round(y2), Round(x3), Round(y3));
Line(Round(x3), Round(y3), Round(x1), Round(y1));
end;
procedure draw(x1, y1, x2, y2, x3, y3: Real; n: Integer);
var
x1n, y1n, x2n, y2n, x3n, y3n : Real;
begin
if n > 0 then
begin
x1n := (x1 + x2) / 2;
y1n := (y1 + y2) / 2;
x2n := (x2 + x3) / 2;
y2n := (y2 + y3) / 2;
x3n := (x3 + x1) / 2;
y3n := (y3 + y1) / 2;
tr(x1n, y1n, x2n, y2n, x3n, y3n);
draw(x1, y1, x1n, y1n, x3n, y3n, n - 1);
draw(x2, y2, x1n, y1n, x2n, y2n, n - 1);
draw(x3, y3, x2n, y2n, x3n, y3n, n - 1);
end;
end;
begin
gd := Detect;
InitGraph(gd, gm, '');
tr(320,10,600,470,40,470);
draw(320,10,600,470,40,470,iter);{}
ReadKey;
CloseGraph;
end.
IFS-алгоритм построения Треугольник Серпинского также легко можно построить с помощью трех IFS-преобразований. Эти преобразования имеют вид: Программа для построения треугольника Серпинского этим методом на языке Pascal приведена ниже. program FracSierp; uses CRT, Graph; var gd, gm : Integer; procedure draw; const iter = 50000; var t, x, y, p : Real; k : LongInt; mx, my, rad : Integer; begin mx := 320; my := 479; rad := my; Randomize; x := 0.0; y := 0.0; for k := 1 to iter do begin p := Random; t := x; if p >= 1/3 then begin x := 0.50 * x + 0.00 * y + 0.0; y := 0.00 * t + 0.50 * y + 0.5; end else if p >= 2/3 then begin x := 0.50 * x + 0.00 * y - 0.25; y := 0.00 * t + 0.50 * y + 0.0; end else begin x := 0.50 * x + 0.00 * y + 0.25; y := 0.00 * t + 0.50 * y + 0.0; end; PutPixel(mx + Round(rad * x), my - Round(rad * y), 2); end; end; begin gd := Detect; InitGraph(gd,gm,''); draw; ReadKey; CloseGraph; end. 
program Sierp10; uses CRT, Graph; var gd, gm: Integer; l, x, y: Real; begin gd:=Detect; InitGraph(gd, gm, 'c:\bp\bgi'); x:=0; y:=0; Randomize; while not Keypressed do begin l := 2/3*pi*random(3); x := x/2+cos(l); y := y/2+sin(l); PutPixel(320 + Round(x*130), 240 + Round(y*130), 14); end; Readkey; CloseGraph; end. Построение с помощью треугольника Паскаля Треугольник Серпинского можно построить, используя треугольник Паскаля по модулю 2. 
package ru.xaoc.fractalworld.numbertriangles;
import java.awt.Color;
import java.awt.Graphics;
import java.awt.Graphics2D;
import java.awt.Image;
import java.awt.geom.Rectangle2D;
import java.awt.image.BufferedImage;
import javax.swing.JFrame;
import javax.swing.JPanel;
public class Main {
public static Image draw(int[][] A) {
int r = A.length;
int s = A[0].length;
BufferedImage image =
new BufferedImage(s, r, BufferedImage.TYPE_INT_RGB);
Graphics2D graphics = image.createGraphics();
graphics.setColor(Color.WHITE);
graphics.fill(new Rectangle2D.Double(0, 0, s, r));
graphics.setColor(Color.BLACK);
for (int i = 0; i < r; ++i) {
for (int j = 0; j < s; ++j) {
if (A[i][j] != 0) {
graphics.fillRect(j, i, 1, 1);
}
}
}
return image;
}
public static int[][] generatePascalTriangle(int n, int m) {
int[][] T = new int[n][n];
for (int i = 0; i < n; ++i) {
T[i][0] = 1;
for (int j = 1; j <= i; ++j) {
T[i][j] = (T[i - 1][j - 1] + T[i - 1][j]) % m;
}
for (int j = i + 1; j < n; ++j) {
T[i][j] = 0;
}
}
return T;
}
public static Image drawSierpinskiTriangle(int n, int m) {
return draw(generatePascalTriangle(n, m));
}
public static Image image;
public static void main(String[] args) {
image = drawSierpinskiTriangle(512, 2);
// image = drawSierpinskiTriangle(729, 3);
// image = drawSierpinskiTriangle(512, 4);
// image = drawSierpinskiTriangle(625, 5);
// image = drawSierpinskiTriangle(512, 8);
int width = image.getWidth(null);
int height = image.getHeight(null);
JFrame frame = new JFrame();
frame.addNotify();
frame.setSize(frame.getInsets().left +
frame.getInsets().right + width,
frame.getInsets().top +
frame.getInsets().bottom + height);
frame.setDefaultCloseOperation(JFrame.EXIT_ON_CLOSE);
frame.add(new JPanel() {
@Override
public void paintComponent(Graphics g) {
Graphics2D G = (Graphics2D) g;
if (image != null) {
G.drawImage(image, 0, 0, null);
}
}
});
frame.setVisible(true);
}
}
Ниже приведены изображения треугольника Паскаля по модулю 3, 4, 5 и 8. 
Вариации на тему треугольника Серпинского
Изменим процедуру построения треугольника следующим образом, будем делить отрезки не пополам, а в
некотором отношении (т.е. соединять не середины отрезков, а некоторые другие точки). Тогда мы получим нечто следующее:
program FractSerp2;
uses CRT, Graph;
var
gd, gm : Integer;
const
Iter = 6;
r = 0.8;
procedure Tr(x1, y1, x2, y2, x3, y3: Real);
begin
Line(round(x1), round(y1), round(x2), round(y2));
Line(round(x2), round(y2), round(x3), round(y3));
Line(round(x3), round(y3), round(x1), round(y1));
end;
procedure Draw(x1, y1, x2, y2, x3, y3: Real; n: Integer);
var
x1n, y1n, x2n, y2n, x3n, y3n : Real;
begin
if n > 0 then
begin
x1n := (x1*r + x2) / (1+r);
y1n := (y1*r + y2) / (1+r);
x2n := (x2*r + x3) / (1+r);
y2n := (y2*r + y3) / (1+r);
x3n := (x3*r + x1) / (1+r);
y3n := (y3*r + y1) / (1+r);
Tr(x1n, y1n, x2n, y2n, x3n, y3n);
Draw(x1, y1, x1n, y1n, x3n, y3n, n - 1);
Draw(x2, y2, x1n, y1n, x2n, y2n, n - 1);
Draw(x3, y3, x2n, y2n, x3n, y3n, n - 1)
end
end;
begin
gd := Detect;
Randomize;
InitGraph(gd,gm,'c:\bp\bgi');
Tr(320,10,600,470,40,470);
Draw(320,10,600,470,40,470,iter);{}
Readkey;
CloseGraph;
end.
Снова изменим процедуру. Теперь на каждом шаге стороны треугольников будем
разбивать случайным образом. Получится примерно следующее:
program FractSierp2;
uses CRT, Graph;
var
gd, gm : Integer;
const
Iter = 8;
procedure Tr(x1, y1, x2, y2, x3, y3: Real);
begin
Line(Round(x1), Round(y1), Round(x2), Round(y2));
Line(Round(x2), Round(y2), Round(x3), Round(y3));
Line(Round(x3), Round(y3), Round(x1), Round(y1))
end;
procedure Draw(x1, y1, x2, y2, x3, y3: Real; n: Integer);
var
x1n, y1n, x2n, y2n, x3n, y3n : Real;
r, q: Real;
begin
if n > 0 then
begin
r := Random;
q := Random;
x1n := (x1*r + x2*q) / (q+r);
y1n := (y1*r + y2*q) / (q+r);
r := Random;
q := Random;
x2n := (x2*r + x3*q) / (q+r);
y2n := (y2*r + y3*q) / (q+r);
r := Random;
q := Random;
x3n := (x3*r + x1*q) / (q+r);
y3n := (y3*r + y1*q) / (q+r);
Tr(x1n, y1n, x2n, y2n, x3n, y3n);
Draw(x1, y1, x1n, y1n, x3n, y3n, n - 1);
Draw(x2, y2, x1n, y1n, x2n, y2n, n - 1);
Draw(x3, y3, x2n, y2n, x3n, y3n, n - 1)
end
end;
begin
gd := Detect;
Randomize;
InitGraph(gd,gm,'c:\bp\bgi');
repeat
ClearDevice;
Tr(320, 10, 600, 470, 40, 470);
Draw(320, 10, 600, 470, 40, 470, Iter);
until Readkey = #27;
CloseGraph
end.
Ещё один способ построения 
В алгоритме постоения множества Жюлиа в качестве
program Sierp;
uses Graph, Crt;
type
TComplex = record
X : Real;
Y : Real;
end;
const
iter = 50;
max = 127;
var
z : TComplex;
x, y, n : Integer;
gd, gm : Integer;
mx, my : Integer;
begin
gd := Detect;
InitGraph(gd,gm,'c:\bp\bgi');
Mx := GetMaxX div 2;
My := GetMaxY div 2;
for y := -my to my do
for x := -mx to mx do
begin
n := 0;
z.x := X * 0.005;
z.y := Y * 0.005;
while (sqr(z.x) + sqr(z.y) < max) and (n < iter) do
begin
if z.y > 0.5 then
begin
z.x := 2*z.x;
z.y := 2*z.y-1;
end
else if z.x > 0.5 then
begin
z.x := 2*z.x-1;
z.y := 2*z.y;
end
else
begin
z.x := 2*z.x;
z.y := 2*z.y;
end;
Inc(n);
end;
PutPixel(mx + x,my + y,16 - (n mod 16));
if KeyPressed then
break;
end;
Readkey;
CloseGraph;
end.
Смотрите также:
Ссылки: |
