Матрица статей        Список статей        Всячина        Контакты       

Метрические пространства

Определение метрического пространства

Определение. Пара , где — множество, а вещественнозначная функция, называется метрическим пространством, если выполнены следующие условия для всех :

  • (свойство симметричности);
  • (свойство положительности);
  • (неравенство треугольника).
Функция с такими свойствами называется метрикой, а её значение расстоянием между точками.

Приведем несколько примеров метрических пространств.

Пусть или , . , — евклидова метрика. Пусть — множество непрерывных функций на отрезке . Три наиболее важные метрики на этом множестве: , , . — произвольное множество, при , при . Это — так называемая дискретная метрика. Рассмотрим важный класс метрик в , а именно класс -метрик. -метрика является обобщением евклидовой метрики и совпадает с ней при . -метрика определяется следующим образом:
Заметим, что .

Для доказательства неравенства треугольника в некоторых этих примерах необходимо неравенство Минковского (для конечных сумм и интегралов):

Определение. Говорят, что две метрики и , определенные на , эквивалентны, если существуют такие и , что для всех и .

Можно показать, что все -метрики эквивалентны. Но, например, метрики и не эквивалентны на . Свойства открытости, замкнутости, ограниченности и связности не меняются при замене метрики на эквивалентную.

Понятие предела в метрических пространствах

Определение. Пусть — метрическое пространство. Последовательность точек () называется сходящейся к в метрике , если для каждого существует такой номер , что для любого выполняется .

Точка называется пределом последовательности .

Заметим, что свойство сходимости не меняется при замене метрики на эквивалентную.

Определение. Последовательность называется фундаментальной последовательностью, если для любого существует такой номер , что для любых выполняется .

Сходящаяся последовательность является фундаментальной последовательностью, обратное не всегда верно, так как пространство может не содержать предел последовательности .

Определение. Метрическое пространство в котором каждая фундаментальная последовательность сходится к точке этого пространства называется полным метрическим пространством.

Определение. Точка называется предельной точкой , если существует последовательность в сходящаяся к этой этой точке.

Множество содержащее все свои предельные точки называется замкнутым. Множество со всеми своими предельными точками называется замыканием множества и обозначается . Внутренность множества есть объединение всех открытых множеств входящих в (Обозначается: ). Внутренность множества есть открытое множество. Границей множества называется множество .

Определение. Точка называется пределом функции в точке , если для каждого существует такое , что при , , выполняется .

Определение. Функция называется непрерывной в точке , если для каждого существует такое , что при , , выполняется .

Используя понятие предела, мы можем сказать, что непрерывна в , если .

Говорят, что функция непрерывна на множестве, если она непрерывна в каждой точке этого множества.

Открытые и замкнутые множества в метрических пространствах

Определение. Множество называется шаром с центром в и радиусом .

Определение. Множество называется открытым в , если вместе с каждой точкой в содержится некоторый шар .

Шар является открытым множеством. Этот факт легко доказать, используя неравенство треугольника.

Определение. Множество называется замкнутым шаром с центром в и радиусом .

Определение. Множество называется замкнутым, если — открытое множество.

Шар является замкнутым множеством.

Определение. Точка называется предельной точкой множества , если в любом шаре содержится бесконечно много точек из множества .

Теорема. Множество замкнуто тогда и только тогда, когда оно содержит все свои предельные точки.

Теорема. (Свойства открытых множеств) Объединение любого числа открытых множеств есть открытое множество. Пересечение конечного числа открытых множеств есть открытое множество.

Теорема. (Свойства замкнутых множеств) Пересечение любого числа замкнутых множеств есть замкнутое множество. Объединение конечного числа замкнутых множеств есть замкнутое множество.

Компактные множества

Определение. Множество называется компактом, если из любого покрытия открытыми множествами можно извлечь конечное подпокрытие.

Множество является компактом в силу леммы о конечном покрытии. Множество — компакт.

Теорема 1. Компакт является замкнутым множеством.

Доказательство. Пусть — компакт, пусть — предельная точка и . Для каждой точки построим окрестность , не содержащую . Тогда . Так как — компакт, то из этого покрытия можно извлечь конечное подпокрытие . Пусть — окрестность не пересекающаяся с . Пусть . не содержит точек из , что противоречит с тем, что — предельная точка .

Определение. Множество ограничено в , если существует точка и конечное число такие, что для каждого выполняется

Теорема 2. Компакт является ограниченным множеством.

Доказательство. Рассмотрим покрытие . Так как — компакт, то из этого покрытия можно извлечь конечное подпокрытие. Откуда следует, что , следовательно — ограничено.

Теорема. Пусть — последовательность непустых вложенных компактов, тогда .

Доказательство. Пусть . Рассмотрим множество . — открытые множества в . Заметим, что . Так как — компакт, то можно выделить конечное подпокрытие, то есть существует такой номер , что , откуда следует, что , но это противоречие с условием теоремы.

Теорема. Замкнутое подмножество компакта является компактом.

Доказательство. Пусть — компакт, а — его замкнутое подмножество. Покроем множество системой открытых множеств: . Пусть . Заметим, что — открытое множество и . Т. к. — компакт, то из этого покрытия выделим конечное подпокрытие, т. к. , то . Заметим также, что , поэтому покрытие — произвольное. И, следовательно, — компакт.

Теорема. ( Критерий компактности в ) Множество — компакт тогда и только тогда, когда замкнуто и ограничено.

Доказательство. «». Верно в силу теорем 1 и 2.

«». Пусть — замкнуто и ограниченно. Так как — ограниченно, то существует промежуток такой, что . Так как — компакт и — замкнуто, то по теореме 4 — компакт.

Приведем без доказательства критерий компактности в произвольных метрических пространствах.

Теорема. (Критерий компактности) Множество — компакт тогда и только тогда, когда из любой последовательности точек из можно выделить сходящуюся в подпоследовательность.

Теорема. Пусть — метрические пространства, — компакт в , — непрерывное отображение. Тогда — компакт.

Доказательство. Пусть — последовательность из , а — последовательность из , причем . Так как компактно, то из последовательности можно извлечь сходящуюся к некоторой точке подпоследовательность . В силу непрерывности имеем . Таким образом, подпоследовательность из сходится к точке .

Метрика Хаусдорфа

Одним из основных вопросов теории фракталов является вопрос о сходимости некоторой последовательности множеств к фракталу. Для этого необходимо определить предел последовательности множеств, а для этого необходимо ввести соответствующее пространство и метрику.

Пусть — полное метрическое пространство. Определим как пространство всех непустых компактных подмножеств . Таким образом, каждая точка в — это компактное подмножество .

Определим расстояние между и множеством следующим образом:

Этот минимум существует и конечен, так как — компакт, а, следовательно, замкнуто и ограничено. Определим расстояние между и из как
В силу компактности , этот максимум существует и конечен. Перечислим (без доказательства) некоторые свойства функции , которые понадобятся далее.
  • ;
  • ;
  • .

Заметим, что метрику не определяет, так как не выполняются аксиомы метрики.

Определение. Метрика , определяемая как

называется метрикой Хаусдорфа, а метрическое пространство метрическим пространством Хаусдорфа.

Покажем, что действительно определяет метрику.

Теорема. Функция является метрикой на .

Доказательство. Для доказательства необходимо проверить выполнимость аксиом.

  • . Это следует из определения , так как величины и неотрицательны.
  • . Если , то, очевидно, . С другой стороны, если , то . И вследствие свойств функции (свойство 2) получаем .
  • . Это утверждение следует из определения .
  • . Сначала покажем, что для любых выполняется . Докажем первое равенство. Пусть , тогда . Для каждого : . Так как это равенство верно при любом , то . Далее, используем, что , и получаем:

Теперь, имея метрику в , мы можем определить понятие предела:

На практике определить расстояние Хаусдорфа между двумя множествами бывает не просто, но существует другой подход к вычислению расстояния Хаусдорфа, связанный с понятием расширения.

Определение. Для заданного множества и радиуса расширением радиуса (обознач. ) называется объединение всех замкнутых шаров радиуса с центром в :

Теорема. Пусть , . Расстояние Хаусдорфа удовлетворяет соотношению:

Доказательство. Покажем, что тогда и только тогда, когда . (Доказательство утверждения аналогично). Предположим, что . Тогда для любой точки имеем , откуда следует, что . Поэтому . Обратно, если , тогда для каждой точки существует точка такая, что . Из этого следует, что для всех и поэтому .

Следствиями этой теоремы являются следующие два утверждения.

Теорема. Пусть — компактное множество, — последовательность компактных множеств. Тогда тогда и только тогда, когда для каждого существует такой номер , что для каждого выполняется и .

Теорема. Пусть — последовательность непустых вложенных компактов. Пусть . Тогда непусто и существует предел в метрике Хаусдорфа.

Доказательство. Множество непусто в силу теоремы о вложенных компактах. В соответствии с предыдущим следствием необходимо показать, что . Так как множества упорядочены по убыванию, то , следовательно необходимо рассмотреть первый случай. Множество есть объединение шаров, а, следовательно, открыто и содержится в . Если же множество, являющееся пересечением компактных вложенных множеств, содержится в открытом множестве, то существует такой номер, начиная с которого элементы последовательности множеств содержатся в этом открытом множестве (оставим этот факт без доказательства). Таким образом, компактные множества содержатся в .

Данное следствие имеет непосредственное отношение к фракталам, получаемым последовательным выбрасыванием открытых множеств. Например, множество Кантора, треугольник Серпинского.

Теорема. Пространство — полное.

Доказательство. Пусть — фундаментальная (в метрике ) последовательность множеств в , следовательно существует такая константа , что для и поэтому (оставим этот факт без доказательства). Пусть . Тогда являются замкнутыми и ограниченными множествами, а следовательно компактными в . Пусть . Так как множества упорядочены по убыванию, то из второго следствия вытекает, что в метрике Хаусдорфа при . Покажем, что есть также предел последовательности , то есть . Пусть . Существует такое, что из следует и . В частности, из второго условия следует, что , то есть . Так как удовлетворяет критерию Коши в метрике Хаусдорфа, то существует такое целое , что из следует, что и . Фиксируем . При любом получим , , . Таким образом, при имеем, что и . Следовательно, .

Теорема. Пусть — компактное подмножество , а — совокупность всех непустых компактных множеств , тогда метрическое пространство компактно.

  • аффинные преобразования,
  • системы итерируемых функций,
  • СИФ со сгущением,
  • коллекция СИФ,
  • фрактальные строки.
  • Ссылки:

    • Р. М. Кроновер Фракталы и хаос в динамических системах. Основы теории. Москва: Постмаркет, 2000. 53—68, 92—95, 297—314.
    • С. Уэлстид Фракталы и вейвлеты для сжатия изображений в дествии. Учебное пособ. — М.: Издательство Триумф, 2003. 36—41.