|
|
Системы итерируемых функций
Пусть  — конечный набор сжимающих
отображений в ) с коэффициентами сжатия  ,  . Определим отображение  ,
действующее в пространстве ) , следующим образом:
 = T_1(E) \cup T_2(E) \cup \ldots \cup T_N(E) = \bigcup_{i \in 1..N}{T_i(E)},
)
для любого ) . отображает
в и является
сжимающим отображением на , h)) c коэффициентом сжатия
(см. доказательство ниже).
Определение.
Система итерируемых функций состоит из полного метрического пространства
и конечного
множества сжимающих отображений  . Введём следующее обозначение:
; \{T_n\}_{n \in 1..N}\}) .
Основной задачей теории СИФ является ответ на вопрос, когда заданная СИФ порождает предельное множество
 :
 = \lim E_n,
)
где последовательность  пораждается итерационной схемой
( — произвольное множество):
, \\
\quad \vdots \\
E_n = T(E_{n-1}), \\
\quad \vdots
\end{array}
)
Отметим, что сходимость подразумевается в метрике Хауслорфа. Если предел существует, то его назвают
аттрактором СИФ. При этом аттрактор часто оказывается фрактальным множеством.
Для того, чтобы применить основную теорему о сжимающих отображений необходимо показать, что
—
полное метрическое пространство, что образ компакта компактен и что — сжимающее отображение.
Первое и второе утверждение следуют из соответствующих теорем,
приведённых в статье Метрические пространства.
Докажем третье утверждение.
Теорема.
Преобразование является сжимающим в метрическом пространстве
с коэффициентом сжатия
.
Доказательство.
Заметим, что для любого ) выполняется  тогда и только тогда, когда существует
такой элемент  , что  \le r) . Следовательно,
если  , то
 \subset T_i(B) + s_i r) . Следовательно  \subset T(B) + sr) .
Аналогично,  \subset T(A) + sr) . Неравенство  \le r) эквивалентно следующей записи:
 . Пусть ) .
Таким образом, , T(B)) \le s h(A, B)) .
Следующая теорема суммирует основные результаты о сходимости систем итерируемых функций.
Теорема.
Пусть ; \{T_m\}_{m \in 1..M}\}) —
система итерируемых сжимающих отображений. Для произвольного начального
множества компактного ) ,
последовательность \}) сходится в метрике Хаусдорфа
к единственному множеству . Множество
называется аттрактором СИФ. Обратно, множество
можно представит в виде: }) .
-
Р. М. Кроновер Фракталы и хаос в динамических системах.
Основы теории. Москва: Постмаркет, 2000. 96—126.
-
С. Уэлстид Фракталы и вейвлеты для сжатия изображений в дествии.
Учебное пособ. — М.: Издательство Триумф, 2003. 44—70.
-
Iterated function system
 .
|
|
