Матрица статей        Список статей        Всячина        Контакты       

Системы итерируемых функций

Пусть — конечный набор сжимающих отображений в с коэффициентами сжатия , . Определим отображение , действующее в пространстве , следующим образом:

для любого . отображает в и является сжимающим отображением на c коэффициентом сжатия (см. доказательство ниже).

Определение. Система итерируемых функций состоит из полного метрического пространства и конечного множества сжимающих отображений . Введём следующее обозначение: .

Основной задачей теории СИФ является ответ на вопрос, когда заданная СИФ порождает предельное множество :

где последовательность пораждается итерационной схемой ( — произвольное множество):
Отметим, что сходимость подразумевается в метрике Хауслорфа. Если предел существует, то его назвают аттрактором СИФ. При этом аттрактор часто оказывается фрактальным множеством. Для того, чтобы применить основную теорему о сжимающих отображений необходимо показать, что — полное метрическое пространство, что образ компакта компактен и что — сжимающее отображение. Первое и второе утверждение следуют из соответствующих теорем, приведённых в статье Метрические пространства. Докажем третье утверждение.

Теорема. Преобразование является сжимающим в метрическом пространстве с коэффициентом сжатия .

Доказательство. Заметим, что для любого выполняется тогда и только тогда, когда существует такой элемент , что . Следовательно, если , то . Следовательно . Аналогично, . Неравенство эквивалентно следующей записи: . Пусть . Таким образом, .

Следующая теорема суммирует основные результаты о сходимости систем итерируемых функций.

Теорема. Пусть — система итерируемых сжимающих отображений. Для произвольного начального множества компактного , последовательность сходится в метрике Хаусдорфа к единственному множеству . Множество называется аттрактором СИФ. Обратно, множество можно представит в виде: .

Смотрите также:

Ссылки:

  • Р. М. Кроновер Фракталы и хаос в динамических системах. Основы теории. Москва: Постмаркет, 2000. 96—126.
  • С. Уэлстид Фракталы и вейвлеты для сжатия изображений в дествии. Учебное пособ. — М.: Издательство Триумф, 2003. 44—70.
  • Iterated function system .