|
|
Аффинные преобразования
Определение и свойства
Определение.
Линейное преобазование в месте с последующим преобразованием сдвига будем называть
аффинным преобразованием.
Аффинное преобразование  в пространстве 
можно представить в матричной форме:
 = Ax + a.
)
Важное свойство аффинного преобразования заключается в том,
что аффинное преобразование отрезок переводит в отрезок:
y) =) y) + a = )  + A((1-t)y) + a =) Ay + ta + (1-t)a = )  + (1-t)(Ay + a) = ) Ty)
Аффинное преобразование плоскости однозначно определяется тройкой нележащих
на одной прямой точек и их образами. В самом деле, пусть некоторое
АП отображает точки ) ,
) ,
) в точки
) ,
) и
) .
Тогда имеем:
 = M'_1, \quad T(M_2) = M'_2, \quad T(M_2) = M'_2.
)
Если
=
\left(
\begin{array}{cc}
a & b \\
c & d
\end{array}
\right)
\left(
\begin{array}{c}
x\\
y
\end{array}
\right)
+
\left(
\begin{array}{c}
e\\
f
\end{array}
\right),
)
то получаем следующую систему линейных уравнений:
=
\left(
\begin{array}{cc}
a & b \\
c & d
\end{array}
\right)
\left(
\begin{array}{c}
x_1\\
y_1
\end{array}
\right)
+
\left(
\begin{array}{c}
e\\
f
\end{array}
\right),
)
=
\left(
\begin{array}{cc}
a & b \\
c & d
\end{array}
\right)
\left(
\begin{array}{c}
x_2\\
y_2
\end{array}
\right)
+
\left(
\begin{array}{c}
e\\
f
\end{array}
\right),
)
=
\left(
\begin{array}{cc}
a & b \\
c & d
\end{array}
\right)
\left(
\begin{array}{c}
x_3\\
y_3
\end{array}
\right)
+
\left(
\begin{array}{c}
e\\
f
\end{array}
\right).
)
Или, переписывая, получаем:
\left(
\begin{array}{c}
a\\
b\\
e
\end{array}
\right)
=
\left(
\begin{array}{c}
x'_1\\
x'_2\\
x'_3
\end{array}
\right),
)
\left(
\begin{array}{c}
c\\
d\\
f
\end{array}
\right)
=
\left(
\begin{array}{c}
y'_1\\
y'_2\\
y'_3
\end{array}
\right).
)
Решая эту систему, находим матричное представление аффинного преобразования.
Примеры аффинных преобразований
Сдвиг. Преобразование сдвига пространства имеет вид:
 = x + a,
)
где  — некоторый вектор.
Поворот. Рассмотрим преобразование поворота плоскости на угол
 против часовой стрелки относительно ) . Оно в матричной форме
запишется в виде:
=
\left(
\begin{array}{cc}
\cos{\alpha} & -\sin{\alpha} \\
\sin{\alpha} & \cos{\alpha}
\end{array}
\right)
\left(
\begin{array}{c}
x \\ y
\end{array}
\right).
)
В трехмёрном случае преобразования вращения относительно оси  запишется в виде:
=
\left(
\begin{array}{ccc}
1 & 0 & 0 \\
0 & \cos{\alpha} & -\sin{\alpha} \\
0 & \sin{\alpha} & \cos{\alpha}
\end{array}
\right)
\left(
\begin{array}{c}
x \\ y \\ z
\end{array}
\right).
)
Вращение относительно других осей записывается аналогично.
Отражение. Отражение относительно оси задается следующим образом:
=
\left(
\begin{array}{cc}
1 & 0 \\
0 & -1
\end{array}
\right)
\left(
\begin{array}{c}
x \\ y
\end{array}
\right).
)
Отражение относительно оси  задается следующим образом:
=
\left(
\begin{array}{cc}
-1 & 0 \\
0 & 1
\end{array}
\right)
\left(
\begin{array}{c}
x \\ y
\end{array}
\right).
)
Сжатие. Сжатие с коэффициентом  относительно начала координат запишется в виде:
=
\left(
\begin{array}{cc}
c & 0 \\
0 & c
\end{array}
\right)
\left(
\begin{array}{c}
x \\ y
\end{array}
\right).
)
Замена системы координат
Рассмотрим, как меняется выражение аффинного преобразования при замене системы координат.
Теорема.
Пусть некоторое аффинное преобразование задано выражением  . Пусть
замена координат задается задается выражением  . Тогда выражение АП в
новых координатах примет вид:  .
Доказательство.
Имеем  x' = )  (C^{-1}(x' - d)) = ) ) + b) = ) ) + b) + d = ) ) .
Аффинные преобразования и комплексные числа
Аффинное преобразование плоскости можно описать с помощью комплексных чисел и
операций над ними.
Векторное пространство  можно рассматривать как множество комплексных чисел c операцией
сложения комплексных чисел и умножением на вещественное число, установив
соответствие:
 \leftrightarrow x + iy.)
Тогда любое аффинное преобразование запишется в виде
 = z' = az + b\overline{z} + c,)
где  — комплексные постоянные.
Приведём примеры аффинных преобразований, записанных в комплексной форме.
Сдвиг на вектор  запишется как
 = z + b) .
Поворот на угол :  = e^{i\alpha}z) .
Отражение относительно действительной оси: = \overline{z}) .
Отражение относительно мнимой оси:  = - \overline{z}) .
Сжатие с коэффициентом сжатия  :  = rz) .
Сжимающие аффинные преобразования
Рассмотрим аффинное преобразование :
 = x' = Ax + b.)
Оно будет сжимающим в ) , если найдётся такое
 , что для любых  и 
выполнено, что  , откуда,
подставляя выражение для , получаем  - (Ax_2 + b)||_2 \le s||x_1 - x_2||_2) ,
 ,
||_2 \le s||x_1 - x_2||_2) , откуда, заменяя  на  ,
получаем
 , для любых .
Так как ||_2 = |k| ||Ax||_2) и
 , то мы можем ограничится рассмотрением
векторов , имеющих единичную длину (единичная сфера  ).
Таким образом, матрица  должна удовлетворять следующему условию:
Заметим также, что  ^tAx}=\sqrt{x^tA^tAx}) .
Поэтому  
 .
Рассмотрим функцию  = x^tA^tAx) .
Для отыскания максимума функции ) на
единичной сфере воспользуемся методом Лагранжа. (Максимум существует, так как  есть компакт
в ,
а функция непрерывна на
). Функция Лагранжа для примет вид:
 = F(x) - \lambda(x^tx - 1) = x^tA^tAx - \lambda(x^tx - 1).
)
В точке максимума дифференциал функции должен равнятся 0 при любом приращении аргумента.
 = L(x + \Delta x, \lambda) - L(x, \lambda) = ) ^tA^tA(x + \Delta x) - \lambda((x + \Delta x)^t(x + \Delta x) - 1) - (x^tA^tAx - \lambda(x^tx - 1)) =)  + o(|\Delta x|) = )  = ) \Delta x + o(|\Delta x|).)
Откуда получаем:
x = 0,\\
||x||_2 = 1.
\end{array}
)
Это означает, что —
собственный вектор матрицы  , имеющий единичню длину, 
— собственное значение
матрицы . Следовательно функция достигает своего
наибольшего значения на одном из собственных
векторов матрицы , и её максимальное значение равно
собственому числу, которому соответствует этот вектор.
Таким образом получаем, что
Поэтому аффинное преобразование является сжимающим в пространстве ,
когда корень из максимального собственного числа матрицы меньше
единицы.
Пусть 
) , найдём  .
Тогда
\left(
\begin{array}{cc}
a & c & \\
b & d &
\end{array}
\right)
=
\left(
\begin{array}{cc}
a^2 + b^2 & ac + bd & \\
ac + bd & c^2 + d^2 &
\end{array}
\right)
)
Обозначим:  ,  ,  .
Характеристическое уравнение имеет вид:
 = 0) . Имеем:  =) 
\lambda + (4\alpha \beta - \gamma^2).)
Решая квадратное уравнение, находим максимальный корень:
^2 + \gamma^2}.
)
Рассмотрим вопрос о сжимаемости в пространстве Хаусдорфа , h)) .
Покажаем, что из сжимаемости в ) следует сжимаемость в
. Имеем:
 \le s d(x, y). \quad (*)
)
Нужно показать, что
 \le s h(X, Y),
)
то есть
, \max_{y \in TY} \min_{x \in TX} d(x, y)) \le
s \max(\max_{x \in X} \min_{y \in Y} d(x, y), \max_{y \in Y} \min_{x \in X} d(x, y)).
)
Это неравенство эквивалентно следующему:
, \max_{y \in Y} \min_{x \in X} d(Tx, Ty)) \le
s \max(\max_{x \in X} \min_{y \in Y} d(x, y), \max_{y \in Y} \min_{x \in X} d(x, y)).
)
Это же неравенство следует из ) путём многократного применения формул:
 \le g(x) \Rightarrow \min_x{f(x)} \le \min_x{g(x)},
)
 \le g(x) \Rightarrow \max_x{f(x)} \le \min_x{g(x)}.
)
- Р. М. Кроновер Фракталы и хаос в динамических системах.
Основы теории. Москва: Постмаркет, 2000. 76—92.
-
С. Уэлстид Фракталы и вейвлеты для сжатия изображений в дествии.
Учебное пособ. — М.: Издательство Триумф, 2003. 47—51.
|
|
