Матрица статей        Список статей        Всячина        Контакты       

Аффинные преобразования

Определение и свойства

Определение. Линейное преобазование в месте с последующим преобразованием сдвига будем называть аффинным преобразованием.

Аффинное преобразование в пространстве можно представить в матричной форме:

Важное свойство аффинного преобразования заключается в том, что аффинное преобразование отрезок переводит в отрезок:

Аффинное преобразование плоскости однозначно определяется тройкой нележащих на одной прямой точек и их образами. В самом деле, пусть некоторое АП отображает точки , , в точки , и . Тогда имеем:

Если
то получаем следующую систему линейных уравнений:
Или, переписывая, получаем:
Решая эту систему, находим матричное представление аффинного преобразования.

Примеры аффинных преобразований

Сдвиг. Преобразование сдвига пространства имеет вид:

где — некоторый вектор.

Поворот. Рассмотрим преобразование поворота плоскости на угол против часовой стрелки относительно . Оно в матричной форме запишется в виде:

В трехмёрном случае преобразования вращения относительно оси запишется в виде:
Вращение относительно других осей записывается аналогично.

Отражение. Отражение относительно оси задается следующим образом:

Отражение относительно оси задается следующим образом:

Сжатие. Сжатие с коэффициентом относительно начала координат запишется в виде:

Замена системы координат

Рассмотрим, как меняется выражение аффинного преобразования при замене системы координат.

Теорема. Пусть некоторое аффинное преобразование задано выражением . Пусть замена координат задается задается выражением . Тогда выражение АП в новых координатах примет вид: .

Доказательство. Имеем .

Аффинные преобразования и комплексные числа

Аффинное преобразование плоскости можно описать с помощью комплексных чисел и операций над ними.

Векторное пространство можно рассматривать как множество комплексных чисел c операцией сложения комплексных чисел и умножением на вещественное число, установив соответствие:

Тогда любое аффинное преобразование запишется в виде
где — комплексные постоянные.

Приведём примеры аффинных преобразований, записанных в комплексной форме. Сдвиг на вектор запишется как . Поворот на угол : . Отражение относительно действительной оси: . Отражение относительно мнимой оси: . Сжатие с коэффициентом сжатия : .

Сжимающие аффинные преобразования

Рассмотрим аффинное преобразование :

Оно будет сжимающим в , если найдётся такое , что для любых и выполнено, что , откуда, подставляя выражение для , получаем , , , откуда, заменяя на , получаем , для любых . Так как и , то мы можем ограничится рассмотрением векторов , имеющих единичную длину (единичная сфера ). Таким образом, матрица должна удовлетворять следующему условию:
Заметим также, что . Поэтому .

Рассмотрим функцию . Для отыскания максимума функции на единичной сфере воспользуемся методом Лагранжа. (Максимум существует, так как есть компакт в , а функция непрерывна на ). Функция Лагранжа для примет вид:

В точке максимума дифференциал функции должен равнятся 0 при любом приращении аргумента. Откуда получаем:
Это означает, что — собственный вектор матрицы , имеющий единичню длину, — собственное значение матрицы . Следовательно функция достигает своего наибольшего значения на одном из собственных векторов матрицы , и её максимальное значение равно собственому числу, которому соответствует этот вектор. Таким образом получаем, что
Поэтому аффинное преобразование является сжимающим в пространстве , когда корень из максимального собственного числа матрицы меньше единицы.

Пусть , найдём . Тогда

Обозначим: , , . Характеристическое уравнение имеет вид: . Имеем: Решая квадратное уравнение, находим максимальный корень:

Рассмотрим вопрос о сжимаемости в пространстве Хаусдорфа . Покажаем, что из сжимаемости в следует сжимаемость в . Имеем:

Нужно показать, что
то есть
Это неравенство эквивалентно следующему:
Это же неравенство следует из путём многократного применения формул:

Смотрите также:

Ссылки:

  • Р. М. Кроновер Фракталы и хаос в динамических системах. Основы теории. Москва: Постмаркет, 2000. 76—92.
  • С. Уэлстид Фракталы и вейвлеты для сжатия изображений в дествии. Учебное пособ. — М.: Издательство Триумф, 2003. 47—51.